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泛函分析3——线性空间和赋范线性空间总结

时间：2023-05-02 20:55:36

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线性空间的10条特性线性空间的子集子空间和凸集商空间直和赋范线性空间商空间的范数和商映射赋范线性空间的完备性

线性空间的10条特性

[1]x+y∈X[1] x+y \in X[1]x+y∈X whenever x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X

[2] x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x for all x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X

[3] There exists a unique element in X,X,X, denoted by 0 , such that x+0=0+x=xx+0=0+x=xx+0=0+x=x for all x∈Xx \in Xx∈X;

线性空间中一定存在0元素

[4] Associated with each x∈Xx \in Xx∈X is a unique element in X,X,X, denoted by −x,-x,−x, such that x+(−x)=x+(-x)=x+(−x)= −x+x=0-x+x=0−x+x=0

线性空间中元素一定存在唯一对应的负元素

[5] (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z) for all x,y,z∈Xx, y, z \in Xx,y,z∈X

[6] α⋅x∈X\alpha \cdot x \in Xα⋅x∈X for all x∈Xx \in Xx∈X and for all α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F

[7]α⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y[7] \alpha \cdot(x+y)=\alpha \cdot x+\alpha \cdot y[7]α⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y for all x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X and all α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F

[8](α+β)⋅x=α⋅x+β⋅x[8](\alpha+\beta) \cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x[8](α+β)⋅x=α⋅x+β⋅x for all x∈Xx \in Xx∈X and all α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}α,β∈F

[9](αβ)⋅x=α⋅(β⋅x)[9](\alpha \beta) \cdot x=\alpha \cdot(\beta \cdot x)[9](αβ)⋅x=α⋅(β⋅x) for all x∈Xx \in Xx∈X and all α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}α,β∈F

[10]1⋅x=x[10] 1 \cdot x=x[10]1⋅x=x for all x∈Xx \in Xx∈X

线性空间的子集

（1）对加和，数乘封闭的子集就是该线性空间的线性子空间。

子空间和凸集

（1）对加和，数乘封闭的子集就是该线性空间的线性子空间。

（2）线性包

（3）凸包：又有绝对凸的（凸加balanced），所有线性子空间都是绝对凸的。

商空间

商空间是按照一定关系对应的，线性空间中的元素对的集合，它可以用一个元素来表示一个集合，看样子可以用来降维。

直和

在一个线性空间X中存在两个子线性空间M和N，X中的一个元素可以分别由M,N中唯一的一个元素相加得到。unique性质。

赋范线性空间

（1）范数是定义在线性空间上的一个实值函数，具有四条特性

N1. ∥x∥≥0\|x\| \geq 0∥x∥≥0;

N2. ∥x∥=0⟺x=0\|x\|=0 \Longleftrightarrow x=0∥x∥=0⟺x=0

N3. ∥λx∥=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|∥λx∥=∣λ∣∥x∥

N4. ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ (Triangle Inequality).

（2）在赋范线性空间中，可以由范数定义一个测度，d(x,y)=∥x−y∥d(x, y)=\|x-y\|d(x,y)=∥x−y∥：每一个赋范线性空间都是一个测度空间，一般我们把赋范线性空间的测度用上述范数来定义。测度具有下述两种特性

(i) d(x,y)=d(x+z,y+z)(TranslationInvariance)d(x, y)=d(x+z, y+z) \quad \text { (Translation Invariance) }d(x,y)=d(x+z,y+z)(TranslationInvariance)

(ii) d(λx,λy)=∣λ∣d(x,y)d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| d(x, y) \quadd(λx,λy)=∣λ∣d(x,y) (Absolute Homogeneity),

商空间的范数和商映射

（1）商空间X/M的范数，就是对应y的下确界

∥[x]∥:=inf⁡y∈[x]∥y∥=inf⁡m∈M∥x+m∥=inf⁡m∈M∥x−m∥=d(x,M),where[x]∈X/M\|[x]\|:=\inf _{y \in[x]}\|y\|=\inf _{m \in M}\|x+m\|=\inf _{m \in M}\|x-m\|=d(x, M), \text { where }[x] \in X / M ∥[x]∥:=y∈[x]inf∥y∥=m∈Minf∥x+m∥=m∈Minf∥x−m∥=d(x,M),where[x]∈X/M