§2.4有限维赋范空间
2.4.1等价的范数
如同在一个空间上可以定义不同的距离一样,我们也可以在同一线性空间上
定义不同的范数,从而产生不同的赋范空间.
实际上,要根据所研究的具体问题,选择定义一个合理、简单、
易于解决问题的范数.
例2.4.1Rn按通常意义下的加法、数乘,称为一个线性空间.
我们在这一空间中可以定义不同的范数.
(1)对于任意的x=(ξ1,⋯,ξn),定义范数:
∥x∥=(∑k=1n|ξk|2)12(2.4.1)
它诱导的距离为:
d(x,y)=(∑k=1∞|ξk−ηk|2)12(2.4.2)
在这一范数下,（Rn,∥x∥)是完备的,可分的.
(2)Rn中可定义范数∥⋅∥∞:
∥x∥∞=max1≤k≤n|ξk|(2.4.3)
(Rn,∥⋅∥∞)是一个赋范空间.
(3)定义范数∥⋅∥1:
∥x∥1=∑k=1n|ξk|(2.4.4)
(Rn,∥⋅∥1)是一赋范空间.
一般地,X是一个线性空间,可赋以不同的范数∥⋅∥1和∥⋅∥2,
这样(X,∥⋅∥1)与(X,∥⋅∥2)称为两个不同的赋范空间.
然而不同的范数之间可能具有等价关系,
即这样的空间中收敛性一样.
下面我们给出两个范数等价的定义:
定义2.4.2设∥⋅∥1和∥⋅∥2是线性空间X上的两个范数,
如果存在a>0,b>0,使得
a∥⋅∥1≤∥⋅∥2≤b∥⋅∥1(2.4.5)
则称范数∥⋅∥1和∥⋅∥2是等价的.
命题2.4.3在两个等价范数产生的赋范空间中,点列{xn}的收敛性一样.
证明:事实上,由(2.4.5)式可知,
∥xn−x0∥1→0⟹∥xn−x0∥2→0(n→∞)(2.4.6)
反之
∥xn−x0∥2→0⟹∥xn−x0∥1→0(n→∞)(2.4.7)
结合(2.4.6)式和(2.4.7)式,命题得证.
注：在两个等价范数产生的赋范空间中,同一个元素的范数
可能不同,但是空间中点列的收敛性一样.
进一步的我们有
推论2.4.4设X是一个线性空间,∥⋅∥1和∥⋅∥2是X
上定义的两个等价的范数,令d1(x,y)=∥x−y∥1和
d2(x,y)=∥x−y∥2分别是∥⋅∥1和∥⋅∥2诱导出的距离.则
(1){xn}在(X,d1)中收敛到x当且仅当{xn}在(X,d2)中收敛到x;
(2){xn}是(X,d1)中的Cauchy列当且仅当{xn}是(X,d2)中的Cauchy列;
(3)(X,d1)是完备的当且仅当(X,d2)是完备的.
注:(X,∥⋅∥1)(X,∥⋅∥2)拓扑同胚(收敛性一样,闭集、开集一样)
例2.4.5在例2.4.1中Rn上定义了三个不同的范数
∥x∥,∥x∥1,∥x∥∞,它们满足
∥x∥=(∑k=1n|ξk|2)12≤∑k=1n|ξk|=∥x∥1
≤n√(∑k=1n|ξk|2)12=n√∥x∥;(2.4.8)
∥x∥∞=max1≤k≤n|ξk|≤(∑k=1n|ξk|2)12=∥x∥
≤n√max1≤k≤n|ξk|=n√∥x∥∞(2.4.9)
因而∥x∥,∥x∥1,∥x∥∞三个范数等价.
下面我们将看到,Rn上定义的所有范数都等价.
2.4.2有限维空间
下面我们将证明实的有限维空间代数上与Rn同构,
在拓扑意义下与Rn同胚.
定理2.4.6任意实的n维赋范空间必与Rn代数同构、拓扑同胚.
证明:(X,∥⋅∥)是实的n维赋范空间,于是存在一组基
{e1,⋯,en},∀x∈X,可以唯一表示为
x=ξ1e1+ξ2e2+⋯+ξnen
令x¯=(ξ1,ξ2,⋯,ξn)∈Rn,设
T:x∈X→x¯∈Rn
则T是一个从X到Rn的同构映射.
可以证明,存在常数α>0和β>0,满足对∀x∈X,
α∥x¯∥≤∥x∥≤β∥x¯∥
事实上由Ho¨lder不等式,我们有∀x∈X,
∥x∥=∥∑k=1nξkek∥≤∑k=1n|ξk|∥ek∥
≤(∑k=1n|ξk|2)12(∑k=1n∥ek∥2)12=β∥x¯∥(2.4.10)
其中β=(∑k=1n∥ek∥2)12是与x无关的常数.
另一方面,在Rn中的单位球面S上.S⊂Rn,
S={x¯=(ξ1,ξ2,⋯,ξn)|∑k=1n|ξk|2=1}
定义
f(x¯)=f(ξ1,ξ2,⋯,ξn)
=∥x∥=∥ξ1e1+ξ2e2+⋯+ξnen∥(2.4.11)
在S上,ξ1,ξ2,⋯,ξn不同时为零,且e1,⋯,en线性无关,
于是ξ1e1+ξ2e2+⋯+ξnen不等于零.
所以f(x¯)>0(∀x¯∈S).
对于任意的x¯=(ξ1,⋯,ξn),y¯=(η1,⋯,ηn),结合
(2.4.10)式有
|f(ξ1,ξ2,⋯,ξn)−f(η1,η2,⋯,ηn)=|∥x∥−∥y∥|
≤∥x−y∥≤β∥x¯−y¯∥
所以f(x¯)是连续的.
因为S是Rn中的闭的有界集,从而是自列紧的集合.
所以f(x¯)在S上取到最小值,
即存在α>0,∀x¯∈S,有f(x¯)=∥x∥≥α
对于∀x∈X且x≠0,则x¯∈Rn满足x¯∥x¯∥∈S,于是
f(x¯∥x¯∥)=∥x∥x¯∥∥≥α(2.4.12)
即α∥x¯∥≤∥x∥≤β∥x¯∥.所以X与Rn同胚.
注1：定理说明实的有限维空间中定义的范数与Rn的范数
等价(代数同构意义),收敛性与Rn相同,即按坐标收敛.
注2：对于复的有限维空间可以证明类似的结果.
有限维的赋范空间都是Banach空间.
2.4.3有限维赋范空间的几何特征
有限维空间中的有界集是列紧集.
定理2.4.7赋范空间是有限维的当且仅当X中的任何有界集是列紧的.
证明：必要性由定理2.4.6可知.
下证充分性.假如不然,X是无穷维的.
考虑S={x|∥x∥=1},任取x1∈S,记X1为由x1
生成的子空间.
因为X是无穷维的,
所以由x1生成的子空间是X的真闭子空间.
因为由Riesz引理,存在x2∈S,∥x2∥=1,使得
∥x2−x∥>12,∀x∈X1,
特别地,∥x2−x1∥>12
令X2是由{x1,x2}生成的子空间,
同样存在x3∈S,∀x∈X2,∥x3−x∥>12.
特别地,∥x3−x2∥>12,∥x3−x1∥>12.
这样一直做下去,得到S中的无穷点列{xn},
∥xi−xj∥>12(i≠j),
所以{xn}中不存在收敛的子列,与S列紧矛盾.
所以X是有限维的.
从上面的真没过程我们得到:赋范空间是有限维的当且仅当
单位球(面)是列紧的.由此可以得到下面的推论.
推论2.4.8设X是一个无穷维的赋范空间,那么单位球
B(0,1)和单位球面S(0,1)都不是列紧的.
注1：在无穷维空间,单位球(面)不是列紧的.
如果单位球(面)列紧,则X是有限维的.
注2：列紧性是距离空间十分重要的性质,
在有限维空间,任何有界闭集都是自列紧的,
但是在无穷维赋范空间,有界集就可能不是列紧集合,
这是有限维空间和无穷维空间的重要区别.
