§2.2完备的赋范空间
赋范空间是一类重要的空间,这类空间在泛函分析的理论
及其应用中都是十分重要的.
第一节中
我们通过在线性空间中引入范数,定义了赋范空间.
给出了一般线性空间中元素“长度”的定义.建立了空间的拓扑结构.
由于范数可以诱导距离,从而赋范空间也是距离空间,
第一章讨论的有关距离空间的概念、性质(如完备性、可分性、
紧性等)都可以在赋范空间中加以讨论.
这一节中，我们重点讨论完备的赋范空间.
2.2.1连续函数上定义的不同范数
例2.2.1C[a,b].闭区间[a,b]上的全体连续函数,对加法、
数乘封闭,是一个线性空间.定义:
∥x∥=maxa≤t≤b|x(t)|
则C[a,b]是一个完备的可分的赋范空间.
(参见例1.1.5、例1.3.19、例1.4.11)
类似地可以考虑C(Ω),其中Ω⊂Rn,是列紧的闭集.
即:C(Ω)为Ω上定义的全体连续函数,其上的范数定义为
∥x∥=maxt∈Ω|x(t)|
可以证明C(Ω)是完备的,可分的赋范空间.
例2.2.2设X表示[a,b]上的全体连续函数,在X上定义
∥x∥1=∫ba|x(t)|dt(2.2.1)
利用积分的线性性质和绝对值的三角不等式,可以证明
∥⋅∥1是一个范数,即(X,∥⋅∥1)是一个赋范空间.
但在由此范数诱导的距离
d(x,y)=∥x−y∥1=∫ba|x(t)−y(t)|dt(2.2.2)
下是不完备的(见例(1.4.14)).
因而赋范空间(X,∥⋅∥1)是不完备的.
同样可以证明在[a,b]上的全体连续函数组成的线性空间中,赋以范数:
∥x∥2=[∫ba|x(t)|2dt]12(2.2.3)
形成的赋范空间也是不完备的.
注:上述例子说明,同一个集合上赋以不同的范数,生成空间的完备性可能不一样.
2.2.2赋范空间的完备化
赋范空间中有了距离就可以考虑空间的完备性,有了完备性,
极限运算(微积分)才能很好的进行.
任何一个距离空间都可以完备化.
赋范空间是距离空间,因而任何赋范空间都可以完备化.
定理2.2.3赋范空间可以完备化.
分析：根据距离空间可以完备化来证明赋范空间可以完备化.
证明大意:对于不完备的赋范空间X,作为距离空间可以完备化,称为X˜.
(注意:X˜现在是一个距离空间)
设x˜,y˜∈X˜,x˜={xn},y˜={yn}是X中的Cauchy列,
在X˜中定义线性运算和范数
x˜+y˜={xn+yn},αx˜={αxn}(2.2.4)
∥x˜∥=limn→∞∥xn∥(2.2.5)
则X˜是Banach空间,
并且X与X˜的稠密子集等距同构.即赋范空间X可以完备化.
完备化以后的空间,填补了原来的“缝隙”，空间中的元素
增加了,使得所有的Cauchy列都收敛.
注:上例X表示[a,b]上的全体连续函数,在X上定义
∥x∥1=∫ba|x(t)|dt
(X,∥⋅∥1)不是Banach空间,它可以完备化.
完备化空间为:
(X˜,∥⋅∥1)={在[a,b]上绝对可积的函数}
={x(t)|∫ba|x(t)|dt<∞}
可以看到这个新的空间中的元素比C[a,b]中的元素增加了,
使得所有的Cauchy列都收敛.
问题:全体连续函数组成的线性空间,在范数(2.2.3)下,完备化的空间是什么?
2.2.3Lp空间
下面将讨论的主要内容:
(1)验证Lp空间是赋范空间.建立Ho¨lder不等式和Minkowski不等式.
(2)讨论了赋范空间Lp的完备性、可分性.
(3)p=∞的情形.
(4)研究Lp的离散情形lp,建立离散情形的Ho¨lder不等式和Minkowski不等式.
赋范函数空间Lp[a,b](1≤p<∞):
定义2.2.4设f(x)是定义在[a,b]区间上的可测函数,1≤p<∞,若
|f|p在[a,b]上可积,称f是p次幂可积的.全体在[a,b]区间上p次幂可积
的函数,记为Lp[a,b],简称为Lp空间.即
Lp[a,b]={x(t)|∫ba|x(t)|pdt<∞}(2.2.6)
在Lp[a,b]中,引入范数:
∥x∥=(∫ba|x(t)|pdt)1p(2.2.7)
为验证∥⋅∥是Lp[a,b]上的范数,需验证以下4条:
(i)∥x∥≥0;
(ii)∥x∥=0当且仅当x(t)=0(a.e);
(iii)∥αx∥=|α|∥x∥,即
(∫ba|αx(t)|pdt)1p=|α|(∫ba|x(t)|pdt)1p
(iv)∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,即
(∫ba|x(t)+y(t)|pdt)1p≤(∫ba|x(t)|pdt)1p+(∫ba|y(t)|pdt)1p
其中(i),(ii),(iii)显然,为证明(iv),我们需要Ho¨lder不等式和Minkowski不等式.
引理2.2.5p,q是正数,且1p+1q=1(p,q称为共轭数),
则对于∀a,b,有
|ab|≤|a|pp+|b|qq(2.2.8)
证明:(1)当b=0时不等式显然成立.
(2)当b≠0时,考虑函数
ϕ(t)=t1p−1pt
当t=1时,ϕ(t)取到最大值
ϕ(1)=1−1p=1q
用t=|a|p|b|q代入得
|a||b|qp−1p|a|p|b|q≤1q,
两边同乘|b|q,注意到q−qp=1,整理可得
|ab|≤|a|pp+|b|qq
下面的Ho¨lder不等式是为了证明Minkowski不等式做准备的.
引理2.2.6(Ho¨lder不等式)设E是Lebesgue可测集,
x(t),y(t)是E上可测函数,且p和q是共轭数,则
∫E|x(t)y(t)|dt≤(∫E|x(t)pdt)1p(∫E|y(t)|qdt)1q(2.2.9)
证明:令A=(∫E|x(t)|pdt)1p,B=(∫E|y(t)|qdt)1q
(1)如果A,B中有一个为0或无穷,下面不等式显然成立(2.2.9)
∫E|x(t)y(t)|dt≤(∫E|x(t)|pdt)1p(∫E|y(t)|qdt)1q
(2)不妨设0<A<∞,0<B<∞.
对每个t∈E,由不等式(2.2.8)知:
|x(t)y(t)|AB≤1p|x(t)A|p+1q|y(t)B|q
上式两边积分得
1AB∫E|x(t)y(t)|dt
≤A−pp∫E|x(t)|pdt+B−qq∫E|y(t)|qdt
=1p+1q=1
所以
∫E|x(t)y(t)|dt
≤AB=(∫E|x(t)|pdt)1p⋅(∫E|y(t)|qdt)1q
注:当p=2时,不等式为:
∫E|x(t)y(t)|dt
≤(∫E|x(t)|2dt)12(∫E|y(t)|2dt)12(2.2.10)
下面建立的Minkowski不等式可以验证Lp为赋范空间(三角不等式成立).
引理2.2.7(Minkowski不等式)设E是Lebesgue可测集,x(t),y(t)可测,1≤p<∞,则
(∫E|x(t)+y(t)|pdt)1p
≤(∫E|x(t)|pdt)1p+(∫E|y(t)|pdt)1p(2.2.11)
证明:当p=1时,结论显然成立.当p>1时,
若∫E|x(t)+y(t)|pdt=0,结论显然成立.
下面假设p>1且∫E|x(t)+y(t)|pdt>0.
∫E|x(t)+y(t)|pdt=∫E|x(t)+y(t)|p−1⋅|x(t)+y(t)|dt
≤∫E|x(t)||x(t)+y(t)|p−1dt+∫E|y(t)||x(t)+y(t)|p−1dt
利用Ho¨lder不等式(2.2.9),设q是p的共轭数,我们有
∫E|x(t)||x(t)+y(t)|p−1dt+∫E|y(t)||x(t)+y(t)|p−1dt
≤(∫E|x(t)|pdt)1p(∫E|x(t)+y(t)|q(p−1)dt)1q
+(∫E|y(t)|pdt)1p(∫E|x(t)+y(t)|q(p−1)dt)1q
由1p+1q=1,有q(p−1)=p,于是
∫E|x(t)+y(t)|pdt
≤(∫E|x(t)+y(t)|pdt)1q((∫E|x(t)|pdt)1p+(∫E|y(t)|pdt)1p)
即
注1:由Minkowski不等式可知,在Lp[a,b]中由(2.2.7)式定义的函数
∥⋅∥满足三角不等式,因此(Lp[a,b],∥⋅∥)是一赋范空间.
注2:L2[a,b]是赋范空间,由其范数诱导的距离就是第一章
第一节(1.1.10)式定义的距离,即:
d(x,y)=(∫ba|x(t)−y(t)|2dt)12
一般地,设可测集E满足m(E)<+∞,可以在
Lp(E)={x(t)|∫E|x(t)|pdt<∞}(2.2.12)
定义:
∥x∥=(∫E|x(t)|pdt)1p(2.2.13)
由Minkowski不等式,Lp(E)是赋范空间.
定理2.2.8Lp(E)(1≤p<∞)是Banach空间.
证明思路:只要证明它中的任意Cauchy列都收敛.事实
上只要证明Cauchy列必存在一收敛子列,再证明此收敛
子列的极限就是该Cauchy列的极限.
证明分以下几步(详细证明见附录III.1):
(1)从Cauchy列{xn(t)}中选取一个点点收敛的子列{xnk(t)},令
limk→∞xnk(t)=x0(t);
选取的办法是:选取满足条件∥xnk+1−xnk∥<12k的子
列,由级数的收敛,推出这个函数列点点收敛.
(2)证明x0(t)∈Lp;
(3)证明{xn(t)}按Lp中的范数趋近于x0(t).
定理2.2.9Lp[a,b]是可分的.
证明思路:只要找到Lp[a,b]中的可数稠密子集就可以.
我们采取逐步逼近的方式证明:有理系数多项式全体是
Lp[a,b]中的可数稠密子集.
(1)对∀ε>0,∀x∈Lp[a,b],首先找到连续函数y(t),使得
∥x(t)−y(t)∥<ε
(2)进一步可以找到有理系数多项式p(t),使得
∥y(t)−p(t)∥<ε
于是
∥x(t)−p(t)∥<2ε
(3)由于全体有理系数多项式是Lp[a,b]中的可数子集,
所以Lp[a,b]可分.
证明:(1)i)对于任意x(t)∈Lp,令
xn(t)={x(t),|x(t)|≤n,0,|x(t)|>n(n=1,2,⋯)(2.2.14)
显然,xn(t)∈Lp且|xn(t)|≤n
ii)由于
npm{t||x(t)|>n}≤∫{t||x(t)|>n}|x(t)|pdt
<∫ba|x(t)|pdt<∞
所以m{t||x(t)|>n}→0(n→∞)
iii)由积分的绝对连续,我们有
∥x−xn∥p=∫{t||x(t)|>n}|x(t)|pdt→0(n→∞)
即对于∀ε,∃N,当n≥N时,∥xn−x∥<ε
(2)对于上面的xN(t),由鲁津定理,存在连续函数y(t),
除去一个可测子集A外,
xN(t)=y(t),|y(t)|≤N,
且这个可测子集的测度满足mA<(ε2N)p.于是
∥xN(t)−y(t)∥=(∫A|xN(t)−y(t)|pdt)1p
≤(∫A(|xN(t)|+|y(t)|)pdt)1p
≤(∫A(2N)pdt)1p
=2N(mA)1p<ε
(3)对于连续函数y(t),由Weierstrass定理,y(t)可以
用有理系数的多项式p(t)一致逼近,即:
|y(t)−p(t)|<ε(b−a)1p(∀t∈[a,b])
我们有
∥y(t)−p(t)∥=(∫ba|y(t)−p(t)|pdt)1p<ε
即
注:在[a,b]上连续的函数属于Lp[a,b],但连续函数的全体在Lp的范数下不完备.
但它们是Lp[a,b]中的稠子集,也就是说:
Lp[a,b]是C[a,b]在Lp范数下的完备化空间.
2.2.4L∞空间
讨论p=∞的情况.
定义2.2.10设E是可测集,x(t)是E上可测函数.如果存在E的可测子集E0⊂E,
mE0=0,且x(t)在E∖E0上有界,则称x(t)为本性有界.
例2.2.11L∞(E).
L∞(E)表示E上全体本性有界的可测函数,其上定义
∥x∥=infmE0=0,E0⊂EsupE∖E0|x(t)|(2.2.15)
注1：上述下确界是可以达到的,即存在E0,使得
∥x∥=supE∖E0|x(t)|
原因：由下确界的定义,对∀1n,存在En⊂E,mEn=0,且
supE∖En|x(t)|<∥x∥+1n
令E0=⋃n=1∞En,则E0⊂E,mE0=0,且对于∀n,
∥x∥≤supE∖E0|x(t)|≤supE∖En|x(t)|≤∥x∥+1n
因此∥x∥=supE∖E0|x(t)|.即
x(t)在E∖E0上有界(几乎处处有界).
注2：称∥x∥是x(t)的本性上确界,记为
∥x∥=esssupE|x(t)|(2.2.16)
注3：∥x∥是X上的范数.
注4：L∞(E)上的收敛性.
xn→dx(n→∞),∥xn−x∥→0(n→∞),
即{xn(t)}除去一零测集外,xn(t)一致收敛到x(t).
定理2.2.12L∞(E)是不可分的Banach空间.
命题2.2.13当mE<∞时,如果1≤p2<p1<∞,则
L∞(E)⊂Lp1(E)⊂Lp2(E)(2.2.17)
证明:(i)设x(t)∈L∞,x(t)本性有界,结合mE<∞,
显然有x(t)∈Lp1(E1),即L∞(E)⊂Lp1(E).
(ii)∀x∈Lp1(E),令B={t∈E||x(t)|≤1}.则
∫E|x(t)|p2dt=∫B|x(t)|p2dt+∫E∖B|x(t)|p2dt
≤mB+∫E∖B|x(t)|p1dt
即x(t)∈Lp2(E).
注：由此可证明,对于任意的x(t)∈L∞(E),mE<∞,
有∥x∥p→∥x∥∞.即
limp→∞(∫E|x(t)|pdt)1p=∥x∥∞(2.2.18)
因此也可把L∞(E)看作Lp(E)的极限情形.
2.2.5lp空间
lp(1≤p<∞)表示全体p次方可和的数列,即
lp={x={ξk}|∑k=1∞|ξk|p<∞}(2.2.19)
类似地可证明:
离散的Ho¨lder不等式和Minkowski不等式.
定理2.2.14设{ξk}∈lp和{ηk}∈lq(这里p,q是正数且1p+1q=1),则
Ho¨lder不等式:
∑k=1∞|ξkηk|≤(∑k=1∞|ξk|p)1p(∑k=1∞|ηk|q)1q
Minkowski不等式:
(∑k=1∞|ξk+ηk|p)1p≤(∑k=1∞|ξk|p)1p+(∑k=1∞|ηk|p)1p
类似定义lp(1≤p<∞)、l∞赋范空间.
利用离散情形的两个重要不等式,我们类似于Lp(E),
L∞(E)空间可以定义赋范空间lp、l∞.
例2.2.15在线性空间lp(1≤p<∞)上赋以范数
∥x∥p=(∑k=1∞|ξk|p)1p(2.2.20)
则lp是赋范空间.
例2.2.16设l∞是全体有界的数列,即
l∞={x={ξk}|{ξk}是有界的数列}(2.2.21)
在其上赋以范数
∥x∥∞=supk|ξk|(2.2.22)
则l∞是赋范空间.
注:lp(1≤p<∞)是一个可分的Banach空间.
l∞是不可分的Banach空间.
特别的,对于p=2,在L2空间上定义:
∥x∥2=(∫ba|x(t)|2dt)12(2.2.23)
则∥x∥2是一个范数.由这个范数诱导出的距离是:
d2(x,y)={∫ba|x(t)−y(t)|2dt}12(2.2.24)
L2是一个完备、可分的赋范(距离)空间.
相似地,在离散的l2空间,其范数为:
∥x∥2=(∑k=1∞|ξk|2)12(2.2.25)
l2是一个完备、可分的赋范(距离)空间.
进一步地,我们以后会看到:它们是内积空间.
